作者：元·脱脱等

◎律历八○明天历步晷漏术二至限：一百八十一日六十二分。

一象度：九十一度三十一分。消息法：一万六百八十九。辰法：三千二百五十。刻法：三百九十。

半辰法：一千六百二十五。昏明刻分：九百七十五。昏明：二刻一百九十五分。冬至岳台晷景常数：一丈二尺八寸五分。

夏至岳台晷景常数：一尺五寸七分。冬至后初限、夏至后末限：四十五日六十二分。夏至后初限、冬至后末限：一百三十七日。

求岳台晷景入二至后日数：计入二至后来日数，以二至约余减之，仍加半日之分，即为入二至后来日午中积数及分。

求岳台晷景午中定数：置所求午中积数，如初限以下者为在初。已上者，覆减二至限，余为在末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日减一千九百三十七半，为泛差。仍以入限日分乘其日盈缩积，〔盈缩积在日度术中。〕五因百约之，用减泛差，为定差。乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以减冬至常晷，余为其日午中晷景定数。若所求入冬至后末限、夏至后初限者，乃三约入限日分，以减四百八十五少，余为泛差。仍以盈缩差减极数，余者若在春分后、秋分前者，直以四约之，以加泛差，为定差。若春分前、秋分后者，以去二分日数及分乘之，满六百而一，以减泛差，余为定差。乃以入限日分自相乘，以乘定差，满一百万为尺，不满为寸、为分及小分，以加夏至常晷，即为其日午中晷景定数。

求每日消息定数：置所求日中日度分，如在二至限以下者为在息。以上者去之，余为在消。又视入消息度加一象以下者为在初。以上者，覆减二至限，余为在末。其初、末度自相乘，以一万乘而再折之，满消息法除之，为常数。乃副之，用减一千九百五十，余以乘其副，满八千六百五十除之，所得以加常数，为所求消息定数。

求每日黄道去极度及赤道内外度：置其日消息定数，以四因之，满三百二十五除之为度，不满，退除为分，所得，在春分后加六十七度三十一分，在秋分后减一百一十五度三十一分，即为所求日黄道去极度及分。以黄道去极度与一象度相减，余为赤道内、外度。若去极度少，为日在赤道内。若去极度多，为日在赤道外。

求每日晨昏分及日出入分：以其日消息定数，春分后加六千八百二十五，秋分后减一万七百二十五，余为所求日晨分。用减元法，余为昏分。以昏明分加晨分，为日出分。减昏分，为日入分。

求每日距中距子度及每更差度：置其日晨分，以七百乘之，满七万四千七百四十二除为度，不满，退除为分，命曰距子度。用减半周天，余为距中度。〔若倍距子度，五除之，即为每更差度及分。若依司辰星漏历，则倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，余以五约之，即每更差度。〕

求每日夜半定漏：置其日晨分，以刻法除之为刻，不满为分，即所求日夜半定漏。

求每日昼夜刻及日出入辰刻：倍夜半定漏，加五刻，为夜刻。用减一百刻，余为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，满辰法除之为辰数，不满，刻法除之为刻，又不满，为刻分。命辰数从子正，算外，即日出辰刻。以昼刻加之，命如前，即日入辰刻。〔若以半辰刻加之，即命从辰初也。〕

求更点辰刻：倍夜半定漏，二十五而一，为点差刻。五因之，为更差刻。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻。以更点差刻累加之，满辰刻及分去之，各得更点所入辰刻及分。〔若同司辰星漏历者，倍夜半定漏，减去待旦一十刻，馀依术求之，即同内中更点。〕

求昏晓及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即其日昏中星所格宿次，其昏中星便为初更中星。以每更差度加而命之，即乙夜所格中星。累加之，得逐更中星所格宿次。又倍距子度，加昏中星命之，即晓中星所格宿次。〔若同司辰星漏历中星，则倍距子度，减去待旦十刻之度三十六度五十二分半，余约之为五更，即同内中更点中星。〕

求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷景同者，累冬至后至其日，为距差日。若地在岳台南，测夏至后与岳台晷景同者，累夏至后至其日，为距差日。

求九服晷景：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为馀日。以馀日减一千九百三十七半，为泛差。依前术求之，以加岳台冬至晷景常数，为其地其日中晷常数。若冬至前后日多于距差日，乃减去距差日，馀依前术求之，即得其地其日中晷常数。若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为馀日。乃三约之，以减四百八十五少，为泛差。依前术求之，以减岳台夏至晷景常数，即其地其日中晷常数。如夏至前后日数多于距差日，乃减岳台夏至常晷，余即晷在表南也。若夏至前后日多于距差日，即减去距差日，馀依前术求之，各得其地其日中晷常数。〔若求定数，依立成以求午中晷景定数。〕

求九服所在昼夜漏刻：冬、夏二至各于所在下水漏，以定其地二至夜刻，乃相减，余为冬、夏至差刻。置岳台其日消息定数，以其地二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十而一，所得，为其地其日消息定数。乃倍消息定数，满刻法约之为刻，不满为分，乃加减其地二至夜刻，〔秋分后、春分前，减冬至夜刻。春分后、秋分前，加夏至夜刻。〕为其地其日夜刻。用减一百刻，余为昼刻。〔其日出入辰刻及距中度五更中星，并依前术求之。〕

步月离术转度母：八千一百一十二万。转终分：二百九十八亿八千二百二十四万二千二百五十一。朔差：二十一亿四千二百八十八万七千。

朔差：二十六度。〔余三千三百七十六万七千，约余四千一百六十二半。〕转法：一十亿八千四百四十七万三千。会周：三百二十亿二千五百一十二万九千二百五十一。

转终：三百六十八度。〔余三十八万二千二百五十一，约余三千七百八。〕

转终：二十七日。〔余六亿一百四十七万一千二百五十一，约余五千五百四十六。〕

中度：一百八十四度。〔余一千五百四万一千一百二十五半，约余一千八百五十四。〕

象度：九十二度。〔余七百五十二万五百六十二太，约分九百二十七。〕

月平行：十三度。〔余二千九百九十一万三千，约分三千六百八十七半。〕

望差：一百九十七度。〔余三千一百九十二万四千六百二十五半，约分三千九百三十四。〕

弦差：九十八度。〔余五千六百五十二万二千三百一十二太，约分六千九百六十七。〕日衰：一十八、小分九。

求月行入转度：以朔差乘所求积月，满转终分去之，不尽为转余。满转度母除为度，不满为余，〔其馀若以一万乘之，满转度母除之，即得约分。若以转法除转余，即为入转日及余。〕即得所求月加时入转度及余。〔若以弦度及余累加之，即得上弦、望、下弦及后朔加时入转度及分。其度若满转终度及余去之。〕其入转度如在中度以下为月行在疾历。如在中度以上者，乃减去中度及余，为月入迟历。

求月行迟疾差度及定差：置所求月行入迟速度，如在象度以下为在初。以上，覆减中度，余为在末。〔其度余用约分百为母。〕置初、末度于上，列二百一度九分于下，以上减下，余以下乘上，为积数。满一千九百七十六除为度，不满，退除为分，命曰迟疾差度。〔在疾为减，在迟为加。〕以一万乘积数，满六千七百七十三半除之，为迟疾定差。〔疾加、迟减，若用立成者，以其度下损益率乘度余，满转度母而一，所得，随其损益，即得迟疾及定差。其迟疾、初末损益分为二日者，各加其初、末以乘除。〕

求朔弦望所直度下月行定分：置迟疾所入初、末度分，进一位，满七百三十九除之，用减一百二十七，余为衰差。乃以衰差疾初迟末减、迟初疾末加，皆加减平行度分，为其度所直月行定分。〔其度以百命为分。〕

求朔弦望定日：各以日躔盈缩、月行迟疾定差加减经朔、弦、望小馀，满若不足，进退大馀，命甲子，算外，各得定日日辰及余。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同月小，月内无中气者为闰月。〔凡注历，观定朔小馀，秋分后四分之三已上者，进一日。若春分后，其定朔晨分差如春分之日者，三约之，以减四分之三。如定朔小馀及此数已上者，进一日。朔或当交有食，初亏在日入已前者，其朔不进。弦、望定小馀不满日出分者，退一日。其望或当交有食，初亏在日出已前，其定望小馀虽满日出分者，亦退之。又月行九道迟疾，历有三大二小。日行盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也。若循其常，则当察加时早晚，随其所近而进退之，使月之大小不过连三。旧说，正月朔有交，必须消息前后一两月，移食在晦、二之日。且日食当朔，月食当望，盖自然之理。夫日之食，盖天之垂诫，警悟时政，若道化得中，则变咎为祥。国家务以至公理天下，不可私移晦朔，宜顺天诫。故《春秋传》书日食，乃纠正其朔，不可专移食于晦、二。其正月朔有交，一从近典，不可移避。〕

求定朔弦望加时日度：置朔、弦、望中日及约分，以日躔盈缩度及分盈加缩减之，又以元法退除迟疾定差，疾加迟减之，余为其朔、弦、望加时定日。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即所求朔、弦、望加时定日所在宿次。〔朔、望有交，则依后术。〕

求月行九道：凡合朔所交，冬在阴历，夏在阳历，月行青道。〔冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立夏、立冬后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之宿亦如之。〕冬在阳历，夏在阴历，月行白道。〔冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西。立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿亦如之。〕春在阳历，秋在阴历，月行朱道。〔春分、秋分后，朱道交在夏至之宿，当黄道南。立春、立秋后，朱道半交在立夏之宿，当黄道西南：至所冲之宿亦如之。〕春在阴历，秋在阳历，月行黑道。〔春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，当黄道正北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿亦如之。〕四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行九道。各视月所入正交积度，〔视正交九道宿度所入节候，即其道、其节所起。〕满象度及分去之馀，〔入交积度及象度并在交会术中。〕若在半象以下为在初限。以上，覆减象度及分，为在末限。用减一百一十一度三十七分，余以所入初、末限度及分乘之，退位，半之，满百为度，不满为分，所得为月行与黄道差数。距半交后、正交前，以差数减。距正交后、半交前，以差数加。〔此加减出入六度，单与黄道相较之数，若较之赤道，随数迁变不常。〕计去二至以来度数，乘黄道所差，九十而一，为月行与黄道差数。凡日以赤道内为阴，外为阳。月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名。若入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。其在同名，以差数加者加之，减者减之。其在异名，以差数加者减之，减者加之。皆加减黄道宿积度，为九道宿积度。以前宿九道宿积度减其宿九道宿积度，余为其宿九道宿度及分。〔其分就近约为太、半、少三数。〕

求月行九道入交度：置其朔加时定日度，以其朔交初度及分减之，余为其朔加时月行入交度及余。〔其馀以一万乘之，以元法退除之，即为约余。〕以天正冬至加时黄道日度加而命之，即正交月离所在黄道宿度。

求正交加时月离九道宿度：以正交度及分减一百一十一度三十七分，余以正交度及分乘之，退一等，半之，满百为度，不满为分，所得，命曰定差。以定差加黄道宿度，计去冬、夏至以来度数，乘定差，九十而一，所得，依同异名加减之，满若不足，进退其度，命如前，即正交加时月离九道宿度及分。

求定朔弦望加时月离所在宿度：各置其日加时日躔所在，变从九道，循次相加。凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。〔先置朔、弦、望加时黄道宿度，以正交加时黄道宿度减之，余以加其正交加时九道宿度，命起正交宿次，算外，即朔、弦、望加时所当九道宿度。其合朔加时若非正近，则日在黄道、月在九道各入宿度，虽多少不同，考其去极，若应绳准。故云月行潜在日下，与太阳同度。〕各以弦、望度及分加其所当九道宿度，满宿次去之，各得加时九道月离宿次。

求定朔夜半入转：以所求经朔小馀减其朔加时入转日馀，〔其经朔小馀，以二万七千八百七乘之，即母转法。〕为其经朔夜半入转。若定朔大馀有进退者，亦进退转日，无进退则因经为定。〔其馀以转法退收之，即为约分。〕

求次月定朔夜半入转：因定朔夜半入转，大月加二日，小月加一日，余、分皆加四千四百五十四，满转终日及约分去之，即次月定朔夜半入转。累加一日，去命如前，各得逐日夜半入转日及分。

求定朔弦望夜半月度：各置加时小馀，〔若非朔、望有交者，有用定朔、弦、望小馀。〕以其日月行定分乘之，满元法而一为度，不满，退除为分，命曰加时度。以减其日加时月度，即各得所求夜半月度。

求晨昏月：以晨分乘其日月行定分，元法而一，为晨度。用减月行定分，余为昏度。各以晨昏度加夜半月度，即所求晨昏月所在宿度。

求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月减望昏定月，余为上弦后昏定程。以望晨定月减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月减次朔晨定月，余为下弦后晨定程。

求转积度：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定程。乃自所入日计求定之，为其程转积度分。〔其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃观其迟疾之极差而损益之，以百为分母。〕

求每日晨昏月：以转积度与晨昏定程相减，余以距后程日数除之，为日差。〔定程多为加，定程少为减。〕以加减每日月行定分，为每日转定度及分。以每日转定度及分加朔、弦、望晨昏月，满九道宿次去之，即为每日晨、昏月离所在宿度及分。〔凡注历，朔后注昏，望后注晨。〕已前月度，并依九道所推，以究算术之精微。若注历求其速要者，即依后术以推黄道月度。

求天正十一月定朔夜半平行月：以天正经朔小馀乘平行度分，元法而一为度，不满，退除为分秒，所得，为经朔加时度。用减其朔中日，即经朔晨前夜半平行月积度。〔若定朔有进退，以平行度分加减之。〕即为天正十一月定朔之日晨前夜半平行月积度及分。

求次月定朔之日夜半平行月：置天正定朔之日夜半平行月，大月加三十五度八十分六十一秒，小月加二十二度四十三分七十三秒半，满周天度分即去之，即每月定朔之晨前夜半平行月积度及分秒。

求定弦望夜半平行月、计弦、望距定朔日数，以乘平行度及分秒，以加其定朔夜半平行月积度及分秒，即定弦、望之日夜半平行月积度及分秒。〔亦可直求朔望，不复求度，从简易也。〕

求天正定朔夜半入转度：置天正经朔小馀，以平行月度及分乘之，满元法除为度，不满，退除为分秒，命为加时度。以减天正十一月经朔加时入转度及约分，余为天正十一月经朔夜半入转度及分。若定朔大馀有进退者，亦进退平行度分，即为天正十一月定朔之日晨前夜半入转度及分秒。

求次月定朔及弦望夜半入转度：因天正十一月定朔夜半入转度分，大月加三十二度六十九分一十七秒，小月加十九度三十二分二十九秒半，即各得次月定朔夜半入转度及分。各以朔、弦、望相距日数乘平行度分以加之，满转终度及秒即去之，如在中度以下者为在疾。以上者去之，余为入迟历，即各得次朔、弦、望定日晨前夜半入转度及分。〔若以平行月度及分收之，即为定朔、弦、望入转日。〕

求定朔弦望夜半定月：以定朔、弦、望夜半入转度分乘其度损益衰，以一万约之为分，百约之为秒，损益其度下迟疾度，为迟疾定度。乃以迟加疾减夜半平行月，为朔、弦、望夜半定月积度。以冬至加时黄道日度加而命之，即定朔、弦、望夜半月离所在宿次。〔若有求晨昏月，以其日晨昏分乘其日月行定分，元法而一，所得为晨昏度。以加其夜半定月，即得朔、弦、望晨昏月度。〕

求朔弦望定程：各以朔、弦、望定月相减，余为定程。〔若求晨昏定程，则用晨昏定月相减，朔后用昏，望后用晨。〕

求朔弦望转积度分：计四七日月行定分，以日衰加减之，为逐日月行定分。乃自所入日计之，为其程转积度分。〔其四七日月行定分者，初日益迟一千二百一十，七日渐疾一千三百四十一，十四日损疾一千四百六十一，二十一日渐迟一千三百二十八，乃视其迟疾之极差而损益之，分以百为母。〕

求每日月离宿次：各以其朔、弦、望定程与转积度相减，余为程差。以距后程日数除之，为日差。〔定程多为益差，定程少为损差。〕以日差加减月行定分。为每日月行定分。以每日月行定分累加定朔、弦、望夜半月在宿次，命之，即每日晨前夜半月离宿次。〔如晨昏宿次，即得每日晨昏月度。〕

步交会术交度母：六百二十四万。周天分：二十二亿七千九百二十万四百四十七。朔差：九百九十万一千一百五十九。

朔差：一度、余三百六十六万一千一百五十九。望差：空度、余四百九十五万五百七十九半。

半周天：一百八十二度。〔余三百九十二万二百二十三半，约分六千二百八十二。〕日食限：一千四百六十四。月食限：一千三百三十八。

盈初限缩末限：六十度八十七分半。缩初限盈末限：一百二十一度七十五分。

求交初度：置所求积月，以朔差乘之，满周天分去之，不尽，覆减周天分，满交度母除之为度，不满为余，即得所求月交初度及余。以半周天加之，满周天去之，余为交中度及余。〔若以望差减之，即得其月望交初度及余。以朔差减之，即得次月交初度及余。以交度母退除，即得余分。若以天正黄道日度加而命之，即各得交初、中所在宿度及分。〕

求日月食甚小馀及加时辰刻：以其朔、望月行迟疾定差疾加迟减经朔望小馀，〔若不足减者，退大馀一，加元法以减之。若加之满元法者，但积其数。〕以一千三百三十七乘之，满其度所直月行定分除之，为月行差数。乃以日躔盈定差盈加缩减之，余为其朔、望食甚小馀。〔凡加减满若不足，进退其日，此朔望加时以究月行迟疾之数，若非有交会，直以经定小馀为定。〕置之，如前发敛加时术入之，即各得日、月食甚所在晨刻。〔视食甚小馀，如半法以下者，覆减半法，余为午前分。半法已上者，减去半法，余为午后分。〕

求朔望加时日月度：以其朔、望加时小馀与经朔望小馀相减，余以元法退收之，以加减其朔、望中日及约分，〔经朔望少，加。经朔望多，减。〕为其朔、望加时中日。乃以所入日升降分乘所入日约分，以一万约之，所得，随以损益其日下盈缩积，为盈缩定度。以盈加缩减加时中日，为其朔、望加时定日。望则更加半周天，为加时定月。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求朔、望加时日月所在宿度及分。

求朔望日月加时去交度分：置朔望日月加时定度与交初、交中度相减，余为去交度分。〔就近者相减之，其度以百通之为分。〕加时度多为后，少为前，即得其朔望去交前、后分。〔交初后、交中前，为月行外道阳历。交中后、交初前，为月行内道阴历。〕

求日食四正食差定数：置其朔加时定日，如半周天以下者为在盈。以上者去之，余为在缩。视之，如在初限以下者为在初。以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，〔盈初限、缩末限者倍之。〕置于上位，列二百四十三度半于下，以上减下，余以下乘上，以一百六乘之，满三千九十三除之，为东西食差泛数。用减五百八，余为南北食差泛数。其求南北食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者覆减之，余以乘泛数。若以上者即去之，余乘泛数，皆满九千七百五十除之，为南北食差定数。盈初缩末限者，〔食甚在卯酉以南，内减外加。食甚在卯酉以北，内加外减。〕缩初盈末限者，〔食甚在卯酉以南，内加外减。食甚在卯酉以北，内减外加。〕其求东西食差定数者，乃视午前、后分，如四分法之一以下者以乘泛数。以上者，覆减半法，余乘泛数，皆满九千七百五十除之，为东西食差定数。盈初缩末限者，〔食甚在子午以东，内减外加。食甚在子午以西，内加外减。〕缩初盈末限者，〔食甚在子午以东，内加外减。食甚在子午以西，内减外加。〕即得其朔四正食差加减定数。

求日月食去交定分：视其朔四正食差，加减定数，同名相从，异名相消，余为食差加减总数。以加减去交分，余为日食去交定分。〔其去交定分不足减、乃覆减食差总数、若阳历覆减入阴历，为入食限。若阴历覆减入阳历，为不入食限。凡加之满食限以上者，亦不入食限。〕其望食者，以其望去交分便为其望月食去交定分。

求日月食分：日食者，视去交定分，如食限三之一以下者倍之，类同阳历食分。以上者，覆减食限，余为阴历食分。皆进一位，满九百七十六除为大分，不满，退除为小分，命十为限，即日食之大、小分。月食者，视去交定分，如食限三之一以下者，食既。以上者，覆减食限。余进一位，满八百九十二除之为大分，不满，退除为小分，命十为限，即月食之大、小分。〔其食不满大分者，虽交而数浅，或不见食也。〕

求日食泛用刻分：置阴、阳历食分于上，列一千九百五十二于下，以上减下，余以乘上，满二百七十一除之，为日食泛用刻、分。

求月食泛用刻分：置去交定分，自相乘，交初以四百五十九除，交中以五百四十除之，所得，交初以减三千九百，交中以减三千三百一十五，余为月食泛用刻、分。

求日月食定用刻分：置日月食泛用刻、分，以一千三百三十七乘之，以所直度下月行定分除之，所得为日月食定用刻、分。

求日月食亏初复满时刻：以定用刻分减食甚小馀，为亏初小馀。加食甚，为复满小馀。各满辰法为辰数，不尽，满刻法除之为刻数，不满为分。命辰数从子正，算外，即得亏初、复末辰、刻及分。〔若以半辰数加之，即命从时初也。〕

求日月食初亏复满方位：其日食在阳历者，初食西南，甚于正南，复于东南。日在阴历者，初食西北，甚于正北，复于东北。其食过八分者，皆初食正西，复于正东。其月食者，月在阴历，初食东南，甚于正南，复于西南。月在阳历，初食东北，甚于正北，复于西北。其食八分已上者，皆初食正东，复于正西。〔此皆审其食甚所向，据午正而论之，其食余方察其斜正，则初亏、复满乃可知矣。〕

求月食更点定法：倍其望晨分，五而一，为更法。又五而一，为点法。〔若依司辰星注历，同内中更点，则倍晨分，减去待旦十刻之分，余，五而一，为更法。又五而一，为点法。〕

求月食入更点：各置初亏、食甚、复满小馀，如在晨分以下者加晨分，如在昏分以上者减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。

求月食既内外刻分：置月食去交分，覆减食限三之一，〔不及减者为食不既。〕余列于上位。乃列三之二于下，以上减下，余以下乘上，以一百七十除之，所得，以定用刻分乘之，满泛用刻分除之，为月食既内刻分。用减定用刻分，余为既外刻、分。

求日月带食出入所见分数：视食甚小馀在日出分以下者，为月见食甚、日不见食甚。以日出分减复满小馀，若食甚小馀在日出分已上者，为日见食甚、月不见食甚。以初亏小馀减日出分，各为带食差。〔若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所食分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。〕以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食出、月带食入所见之分。〔凡亏初小馀多如日出分为在昼，复满小馀多如日出分为在夜，不带食出入也。〕若食甚小馀在日入分以下者，为日见食甚、月不见食甚。以日入分减复满小馀，若食甚小馀在日入分已上者，为月见食甚、日不见食甚。以初亏小馀减日入分，各为带食差。〔若月食既者，以既内刻分减带食差，余乘所差分，既外刻分而一，不及减者，即带食既出入也。〕以乘所食之分，满定用刻分而一，即各为日带食入、月带食出所见之分。〔凡亏初小馀多如日入分为在夜，复满小馀少如日入分为在昼，并不带食出入也。〕

步五星术木星终率：一千五百五十五万六千五百四。

终日：三百九十八日。〔余三万四千五百四，约分八千八百四十七。〕历差：六万一千七百五十。见伏常度：一十四度。〔表略〕

火星终率：三千四十一万七千五百三十六。

终日：七百七十九日。〔余三万六千五百三十六，约分九千三百六十八。〕历差：六万一千二百四十。见伏常度：一十八度。

土星终率：一千四百七十四万五千四百四十六。终日：三百七十八。〔余三千四百四十六，约分八百八十三。〕历差：六万一千三百五十。

见伏常度：一十八度半。金星终率：二千二百七十七万二千一百九十六。

终日：五百八十三日。〔余三万五千一百九十六，约分九千二十四。〕见伏常度：一十一度少。

水星终率：四百五十一万九千一百八十四。〔改九千一百九十四。〕

终日：一百一十五日。〔余三万四千一百八十四，约分八千七百六十五。〕见伏常度：一十八度。

求五星天正冬至后诸段中积中星：置气积分，各以其星终率去之，不尽，覆减终率，余满元法为日，不满，退除为分，即天正冬至后其星平合中积。重列之为中星，因命为前一段之初，以诸段变日、变度累加减之，即为诸段中星。〔变日加减中积，变度加减中星。〕

求木火土三星入历：以其星历差乘积年，满周天分去之，不尽，以度母除之为度，不满，退除为分，命曰差度。以减其星平合中星，即为平合入历度分。以其星其段历度加之，满周天度分即去之，各得其星其段入历度分。〔金、水附日而行，更不求历差。其木、火、土三星前变为晨，后变为夕。金、水二星前变为夕，后变为晨。〕

求木火土三星诸段盈缩定差：木、土二星，置其星其段入历度分，如半周天以下者为在盈。以上者，减去半周天，余为在缩。置盈缩度分，如在一象以下者为在初限。以上者，覆减半周天，余为在末限。置初、末限度及分于上，列半周天于下，以上减下，以下乘上，〔木进一位，土九因之。〕皆满百为分，分满百为度，命曰盈缩定差。其火星，置盈缩度分，如在初限以下者为在初。以上者，覆减半周天，余为在末。〔以四十五度六十五分半为盈初、缩末限度，以一百三十六度九十六分半为缩初、盈末限度分。〕置初、末限度于上，〔盈初、缩末三因之。〕列二百七十三度九十三分于下，以上减下，余以下乘上，以一十二乘之，满百为度，不满，百约为分，命曰盈缩定差。〔若用立成法，以其度下损益率乘度下约分，满百者，以损益其度下盈缩差度为盈缩定差，若在留退段者，即在盈缩泛差。〕

求木火土三星留退差：置后退、后留盈缩泛差，各列其星盈缩极度于下，〔木极度，八度三十三分。火极度，二十二度五十一分。土极度，七度五十分。〕以上减下，余以下乘上，〔水、土三因之，火倍之。〕皆满百为度，命曰留退差。〔后退初半之，后留全用。〕其留退差，在盈益减损加、在缩损减益加其段盈缩泛差，为后退、后留定差。〔因为后迟初段定差，各须类会前留定差，观其盈缩，察其降差也。〕

求五星诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其星其段定积及分。以天正冬至大馀及约分加之，满纪法去之，不尽，命甲子，算外，即得日辰。〔其五星合见、伏，即为推算段定日。后求见、伏合定日，即历注其日。〕

求五星诸段所在月日：各置诸段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及分去之，为月数。不满，为入月以来日数及分。其月数命从天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分。〔定朔有进退者，亦进退其日，以日辰为定。若以气策及约分去定积，命从冬至，算外，即得其段入气日及分。〕

求五星诸段加时定星：各置其星其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，即五星诸段定星。若以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其段加时定星所在宿次。〔五星皆以前留为前退初定星，后留为后顺初定星。〕

求五星诸段初日晨前夜半定星：木、火、土三星，以其星其段盈缩定差与次度下盈缩定差相减，余为其度损益差。以乘其段初行率，一百约之，所得，以加减其段初行率，〔在盈，益加损减。在缩，益减损加。〕以一百乘之，为初行积分。又置一百分，亦依其数加减之，以除初行积分，为初日定行分。以乘其段初日约分，以一百约之，顺减退加其段定星，为其段初日晨前夜半定星。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即得所求。〔金、水二星，直以初行率便为初日定行分。〕

求太阳盈缩度：各置其段定积，如二至限以下为在盈。以上者去之，余为在缩。又视入盈缩度，如一象以下者为在初。以上者，覆减二至限，余为在末。置初、末限度及分，如前日度术求之，即得所求。〔若用立成者，直以其度下损益分乘度余，百约之，所得，损益其度下盈缩差，亦得所求。〕

求诸段日度率：以二段日晨相距为日率，又以二段夜半定星相减，余为其段度率及分。

求诸段平行分：各置其段度率及分，以其段日率除之，为其段平行分。

求诸段泛差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差。并前段泛差，四因之，退一等，为其段总差。〔五星前留前、后留后一段，皆以六因平行分，退一等，为其段总差，水星为半总差。其在退行者，木、火、土以十二乘其段平行分，退一等，为其段总差。金星退行者，以其段泛差为总差，后变则反用初、末。水星退行者，以其段平行分为总差，若在前后顺第一段者，乃半次段总差，为其段总差。〕

求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，为其段初、末日行分。〔前变加为初，减为末。后变减为初，加为末。其在退段者，前则减为初，加为末。后则加为初，减为末。若前后段行分多少不伦者，乃平注之。或总差不备大分者，亦平注之：皆类会前后初、末，不可失其衰杀。〕

求诸段日差：减其段日率一，以除其段总差，为其段日差。〔后行分少为损，后行分多为益。〕

求每日晨前夜半星行宿次：置其段初日行分，以日差累损益之，为每日行分。以每日行分累加减其段初日晨前夜半宿次，命之，即每日星行宿次。

径求其日宿次：置所求日，减一，以乘日差，以加减初日行分，〔后少，减之。后多，加之。〕为所求日行分。乃加初日行分而半之，以所求日数乘之，为径求积度。以加减其段初日宿次，命之，即径求其日星宿次。

求五星定合定日：木、火、土三星，以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以差日及分减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈减缩加。金、水二星平合者，以百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩余为日，不满，退除为分，命曰距合差日及分。以减太阳盈缩分，余为距合差度。以差日、差度盈加缩减。金、水星再合者，以初日行分加一百分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，命曰再合差日。以减太阳盈缩分，余为再合差度。以差日、差度盈加缩减。〔差度则反其加减。〕皆以加减定积，为再合定日。以天正冬至大馀及约分加而命之，即得定合日辰。

求五星定见伏：木、火、土三星，各以其段初日行分减一百分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。金、水二星夕见、晨伏者，以一百分减初日行分，余以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈加缩减。其在晨见、夕伏者，以一百分加其段初日行分，以除其日太阳盈缩分为日，不满，退除为分，以盈减缩加。皆加减其段定积，为见、伏定日。以加冬至大馀及约分，满纪法去之，命从甲子，算外，即得五星见、伏定日日辰。

琮又论历曰“古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也。若一行为《大衍历》，议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日行有盈缩之差。〔旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有馀，夏至前后日行不及一度。〕李淳风悟定朔之法，并气朔、闰余，皆同一术。〔旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈缩、月行迟疾加减朔余，余为定朔、望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食在望，更无晦、二之差。旧历皆须用章岁、章月之数，使闰馀有差，淳风造《麟德历》，以气朔、闰馀同归一母。〕张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。〔北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十馀年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交道表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩、加减之数。〕宋何承天始悟测景以定气序。〔景极长，冬至。景极短，夏至。始立八尺之表，连测十馀年，即知旧《景初历》冬至常迟天三日。乃造《元嘉历》，冬至加时比旧退减三日。〕晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。〔日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，为日所在宿度。〕后汉刘洪作《乾象历》，始悟月行有迟疾数。〔旧历，月平行十三度十九分度之七，至是始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有馀。〕宋祖冲之始悟岁差。〔《书·尧典》曰“日短星昴，以正仲冬。宵中星虚，以殷仲秋”至今三千馀年，中星所差三十馀度，则知每岁有渐差之数，造《大明历》率四十五年九月而退差一度。〕唐徐升作《宣明历》，悟日食有气、刻差数。〔旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。〕《明天历》悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加时所在。〔自《元嘉历》后所立日法，以四十九分之二十六为强率、以十七分之九为弱率，并强弱之数为日法、朔余，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔余虚分为日法，盖自然之理。其气节加时，晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。〕后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之《乾元历》、马重绩之《调元历》、郭绍之《五纪历》也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验《春秋》日食，以明强弱。其于气序，则取验于《传》之南至。其日行盈缩、月行迟疾、五星加减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五年九月“辰弗集于房”，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以下为亲，三度以下为近，四度以上为远。其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近，四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也”琮自谓善历，尝曰“世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙”而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。

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