作者：元·脱脱等

◎律历十○观天历元祐《观天历》

演纪上元甲子，距元祐七年壬申，岁积五百九十四万四千八百八算。〔上考往古，每年减一。下验将来，每年加二。〕步气朔

统法：一万二千三十。岁周：四百三十九万三千八百八十。岁馀：六万三千八十。气策：一十五、余二千六百二十八、秒一十一。

朔实：三十五万五千二百五十三。朔策：二十九、余六千三百八十三。望策：一十四、余九千二百六、秒一十八。弦策：七、余四千六百三、秒九。

岁闰：一十三万八百四十四。中盈分：五千二百五十六、秒二十四。朔虚分：五千六百四十七。没限分：九千四百二。

闰限：三十四万四千三百四十九、秒一十二。旬周：七十二万一千八百。纪法：六十。以上秒母同三十六。

推天正冬至：置距所求积年，以岁周乘之，为气积分。满旬周去之，不尽，以统法约之为大馀，不满为小馀。其大馀命甲子，算外，即所求年天正冬至日辰及余。

求次气：置天正冬至大、小馀，以气策及余秒累加之，〔秒盈秒法从小馀一，小馀盈统法从大馀一，大馀盈纪法去之。〕命甲子，算外，即各得次气日辰及余秒。

推天正经朔：置天正冬至气积分，以朔实去之，不尽为闰馀。以减天正冬至气积分，余为天正十一月经朔加时积分。满旬周去之，不尽，以统法约之为大馀，不满为小馀。其大馀命甲子，算外，即所求年天正十一月经朔日辰及余。

求弦望及次朔经日：置天正十一月经朔大、小馀，以弦策累加之，去命如前，即各得弦、望及次朔经日及余秒。

求没日：置有没之气小馀，以三百六十乘之，其秒进一位，从之，用减岁周，余满岁馀除之为日，不满为余。其日，命其气初日日辰，算外，即为其气没日日辰。〔凡气小馀在没限以上者，为有没之气。〕

求灭日：置有灭之朔小馀，以三十乘之，满朔虚分除之为日，不满为余。其日命其月经朔初日日辰，算外，即为其月灭日日辰。〔凡经朔小馀不满朔虚分者，为有灭之朔。〕

步发敛候策：五、余八百七十六、秒四。卦策：六、余一千五十一、秒一十二。土王策：三、余五百二十五、秒二十四。

月闰：一万九百三、秒二十四。辰法：二千五。半辰法：一千二半。刻法：一千三百三。

秒母：三十六。

推七十二候：各因中节大、小馀命之，为初候。以候策加之，为次候。又加之，为末候。

求六十四卦：各因中气大、小馀命之，为初卦用事日。以卦策加之，为中卦用事日。又加之，得终卦用事日。以土王策加诸侯内卦，得十有二节之初外卦用事日。又加之，得大夫卦用事日。复以卦策加之，得卿卦用事日。

推五行用事：各因四立之节大、小馀命之，即春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策减四季中气大、小馀，命甲子，算外，为其月土始用事日。

求中气去经朔：置天正冬至闰馀，以月闰累加之，满统法约之为日，不尽为余，即各得每月中气去经朔日及余秒。〔其闰馀满闰限者，为月内有闰也。仍定其朔内无中气者为闰月。〕

求卦候去经朔：以卦、候策累加减中气，去经朔日及余，〔中气前，减。中气后，加。〕即各得卦、候去经朔日及余秒。

求发敛加时：倍所求小馀，以辰法除之为辰数，不满，五因之，满刻法为刻，不满为余。其辰数命子正，算外，即各得所求加时辰、刻及分。步日躔

周天分：四百三十九万四千三十四、秒五十七。周天度：三百六十五、余三千八十四、秒五十七。岁差：一百五十四、秒五十七。二至限日：一百八十二、余七千四百八十。

冬至后盈初夏至后缩末限日：八十八、余一万九百五十八。夏至后缩初冬至后盈末限日：九十三、余八千五百五十二。

求每日盈缩分：置入二至后全日，各在初限已下为初限。已上，用减二至限，余为末限。列初、末限日及分于上，倍初、末限日及约分于下，相减相乘。求盈缩分者，在盈初、缩末，以三千二百九十四除之。在盈末、缩初，以三千六百五十九除之，皆为度，不满，退除为分秒。求朏朒积者，各退二位，在盈初缩末，以三百六十六而一。在盈末缩初，以四百七而一，各得所求。以盈缩相减，余为升降分。〔盈初缩末为升，缩初盈末为降。〕以朏朒积相减，余为损益率。〔在初为益，在末为损。〕

求经朔弦望入盈缩限：置天正闰日及余，减缩末限日及余，为天正十一月经朔入缩末限日及余。以弦策累加之，满盈缩限日去之，即各得弦望及次朔入盈缩限日及余秒。

求经朔弦望朏朒定数：各置所入盈缩限日小馀，以其日下损益率乘之，如统法而一，所得，损益其下朏朒积为定数。

求定气：冬夏二至以常气为定气。自后，以其气限日下盈缩分盈加缩减常气约余，即为所求之气定日及分秒。赤道宿度

斗：二十六 牛：八 女：十二 虚：十少〔秒六十四〕危：十七 室：十六 壁：九北方七宿九十八度少、秒六十四。奎：十六 娄：十二 胃：十四 昴：十一

毕：十七 觜：一 参：十西方七宿八十一度。井：三十三 鬼：三 柳：十五 星：七张：十八 翼：十八 轸：十七

南方七宿一百一十一度。角：十二 亢：九 氐：十五。 房：五心：五 尾：十八 箕：十一东方七宿七十五度。

前皆赤道宿度，与古不同。自《大衍历》依浑仪测为定，用纮带天中，仪极攸凭，以格黄道。

推天正冬至加时赤道日度：以岁差乘所求积年，满周天分去之，不尽，用减周天分，余以统法除之为度，不满为余。命起赤道虚宿四度外去之，至不满宿，即为所求年天正冬至加时赤道日度及余秒。

求夏至赤道日度：置天正冬至加时赤道日度，以二至限及余加之，满赤道宿次去之，即得夏至加时赤道日度及余秒。〔因求后昏后夜半赤道日度者，以二至小馀减统法，余以加二至赤道日度之馀，即二至初日昏后夜半赤道日度，以每日累加一度，去命如前，各得所求。〕

求二十八宿赤道积度：置二至加时日躔赤道全度，以二至加时赤道日度及约分减之，余为距后度。以赤道宿次累加之，即得二十八宿赤道积度及分秒。

求二十八宿赤道积度入初末限：各置赤道积度及分秒，满象限九十一度三十一分、秒九即去之，若在四十五度六十五分、秒五十四半已下为初限。已上，用减象限，余为末限。

求二十八宿黄道度：各置赤道宿入初、末限度及分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，一万二千而一为度，命曰黄赤道差。至后以减、分后以加赤道宿积度，为黄道积度。以前宿黄道积度减之，余为二十八宿黄道度及分。〔其分就近约为太、半、少，若二至之宿不足减者，即加二至限，然后减之，馀依术算。〕

黄道宿度

斗：二十三半 牛：七半 女：十一半 虚：十少〔秒六十四。〕危：十七太 室：十七少 壁：九太北方七宿九十七度半、秒六十四。

奎：十七太 娄：十二太 胃：十四半 昴：十一太毕：十六 觜：一 参：九少西方七宿八十二度。井：三十 鬼：二太 柳：十四少 星：七

张：十八太 翼：十九半 轸：十八太南方七宿一百一十一度。角：十三 亢：九半 氐：十五半 房：五心：四太 尾：十七 箕：十

东方七宿七十四度太。

前黄道宿度，乃依今历岁差变定。若上考往古，下验将来，当据岁差，每移一度，依历推变，然后可步七曜，知其所在。

求天正冬至加时黄道日度：置天正冬至加时赤道日度及约分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，一万二千而一为度，命曰黄赤道差。用减天正冬至加时赤道日度及分，即为所求年天正冬至加时黄道日度及分。〔夏至日度，准此求之。〕

求二至初日晨前夜半黄道日度：置一万分，以其日升降分升加降减之，以乘二至小馀，如统法而一，所得，以减二至加时黄道日度，余为二至初日晨前夜半黄道日度及分。

求每日晨前夜半黄道日度：置二至初日晨前夜半黄道日度及分，每日加一度，百约其日下升降分，升加降减之，满黄道宿次去之，即各得二至后每日晨前夜半黄道日度及分。

求太阳过宫日时刻：置黄道过宫宿度，以其日晨前夜半黄道宿度及分减之，余以统法乘之，如其太阳行分而一，为加时小馀。如发敛求之，即得太阳过宫日、时、刻及分。

黄道过宫〔太史局吴泽等补治有此一段，开封进士吴时举、国学进士程憙、常州百姓张文进本并无之。〕

危宿十五度少，入卫之分，亥。 奎宿三度半，入鲁之分，戌。

胃宿五度半，入赵之分，酉。 毕宿十度半，入晋之分，申。

井宿十二度，入秦之分，未。 柳宿七度半，入周之分，午。

张宿十七度少，入楚之分，巳。 轸宿十二度，入郑之分，辰。氐宿三度少，入宋之分，卯。 尾宿八度，入燕之分，寅。

斗宿九度，入吴之分，丑。 女宿六度少，入齐之分，子。步月离转周分：三十三万一千四百八十二、秒三百八十九。转周日：二十七、余六千六百七十二、秒三百八十九。

朔差日：一、余一万一千七百四十、秒九千六百一十一。弦策：七、余四千六百三、秒二千五百。望策：一十四、余九千二百六、秒五千。以上秒母同一万。

七日：初数一万六百九十，初约八十九。末数一千三百四十，末约一十一。

十四日：初数九千三百五十一，初约七十八。末数二千六百七十九，末约二十二。

二十一日：初数八千一十一，初约六十七。末数四千一十九，末约三十三。二十八日：初数六千六百七十二，初约五十五。上弦：九十一度三十一分、秒四十一。

望：一百八十二度六十二分、秒八十二。下弦：二百七十三度九十四分、秒二十三。平行：一十三度三十六分、秒八十七半。以上秒母同一百。

求天正十一月经朔加时入转：置天正十一月经朔加时积分，以转周分秒去之，不尽，以统法约之为日，不满为余。命日，算外，即得所求年天正十一月经朔加时入转日及余秒。〔若以朔差日及余秒加之，满转周日及余秒去之，即次朔加时入转日及余秒。各以其月经朔小馀减之，余为其月经朔夜半入转。〕

求弦望入转：因天正十一月经朔加时入转日及余秒，以弦策累加之，去命如前，即得弦、望入转日及余秒。求朔弦望入转朏朒定数：置入转余，乘其日算外损益率，如统法而一，所得，以损益其下朏朒积为定数。其在四七日下余如初数已下，初率乘之，初数而一，以损益其下朏朒积为定数。若初数已上者，以初数减之，余乘末率，末数而一，用减初率，余加其日下朏朒积为定数。〔其十四日下余若在初数已上者，初数减之，余乘末率，末数而一，便为朏定数。〕

求朔弦望定日、各以入限、入转朏朒定数，朏减朒加经朔、弦、望小馀，满若不足，进退大馀，命甲子，算外。各得定日及余。若定朔干名与后朔干名同者月大，不同者月小，其月内无中气者为闰月。〔凡注历，观定朔小馀，秋分后在统法四分之三已上者，进一日。若春分后定朔晨昏差如春分之日者，三约之，用减四分之三。定朔小馀在此数已上者，亦进一日。或当交亏初在日入已前者，其朔不进。弦、望定小馀不满日出分者，退一日。望若有交，亏初在日出分已前者，其定望小馀虽满日出分，亦退一日。又有月行九道迟疾，历有三大二小者。依盈缩累增损之，则有四大三小，理数然也。若俯循常仪，当察加时早晚，随其所近而进退之，使不过三大二小。〕

求定朔弦望加时日度：置定朔、弦、望约分，副之，以乘其日升降分，一万约之，所得，升加降减其副，以加其日夜半日度，命如前，各得定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分秒。

求月行九道：凡合朔初交，冬入阴历，夏入阳历，月行青道。〔冬至、夏至后，青道半交在春分之宿，出黄道东。立冬、立夏后，青道半交在立春之宿，出黄道东南：至所冲之宿亦如之。〕冬入阳历，夏入阴历，月行白道。〔冬至、夏至后，白道半交在秋分之宿，出黄道西。立冬、立夏后，白道半交在立秋之宿，出黄道西北。至所冲之宿亦如之。〕春入阳历，秋入阴历，月行朱道。〔春分、秋分后，朱道半交在夏至之宿，出黄道南。立夏、立秋后，朱道半交在立夏之宿，出黄道西南：至所冲之宿亦如之。〕春入阴历，秋入阳历，月行黑道。〔春分、秋分后，黑道半交在冬至之宿，出黄道北。立春、立秋后，黑道半交在立冬之宿，出黄道东北：至所冲之宿亦如之。〕四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各视月行所入正交积度，满交象去之，〔入交积度及交象度，并在交会术中。〕若在半交象已下为初限。已上，覆减交象，余为末限。置初、末限度及分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，二万四千而一为度，命曰月道与黄道差数。距正交后、半交前，以差数加。距半交后、正交前，以差数减。〔此加减出入黄道六度，单与黄道相校之数，若校赤道，则随气迁变不常。〕仍计去冬、夏二至已来度数，乘差数，如九十而一，为月道与赤道差数。〔凡日以赤道内为阴，外为阳。月以黄道内为阴，外为阳。故月行宿度，入春分交后行阴历，秋分交后行阳历，皆为同名。入春分交后行阳历，秋分交后行阴历，皆为异名。〕其在同名者，以差数加者加之，减者减之。其在异名者，以差数加者减之，减者加之。二差皆增益黄道宿积度，为九道宿积度。以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分秒。〔其分就近约之为太、半、少。〕

求月行九道平交入气：各以其月闰日及余，加经朔加时入交泛日及余秒，盈交终日及余秒去之，乃减交终日及余秒。即各得平交入其月中气日及余秒。若满气策即去之，余为平交入后月节气日及余秒。〔若求朏朒定数，如求朔、望朏朒术入之，即得所求。〕

求平交入转朏朒定数：置所入气余，加其日夜半入转余，乘其日算外损益率，如统法而一，所得，以损益其下朏朒积，乃以交率乘之，交数而一，为定数。

求正交入气：以平交入气、入转朏朒定数，朏减朒加平交入气余，满若不足，进退其日，即正交入气日及余秒。

求正交加时黄道日度：置正交入气余，副之，以乘其日升降分，一万约之，升加降减其副，乃以一百乘之，如统法而一，以加其日夜半日度，即正交加时黄道日度及分秒。

求正交加时月离九道宿度：置正交度加时黄道日及分，三之，为限分。用减四百，余以限分乘之，二万四千而一，命曰月道与黄道差数。以加黄道宿度，仍计去冬、夏二至已来度数，以乘差数，如九十而一，为月道与赤道差数。同名以加，异名以减，二差皆增损正交度，即正交加时月离九道宿度及分秒。

求定朔弦望加时月离黄道宿度：置定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分，凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月度。各以弦、望度加其所当日度，满黄道宿次去之，即各得定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒。

求定朔弦望加时月离九道宿度：置定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒，加前宿正交后黄道积度，如前求九道术入之，以前定宿正交后九道积度减之，余为定朔、弦、望加时月离九道宿度及分秒。〔凡合朔加时，若非正交，即日在黄道、月在九道所入宿度。虽多少不同，考其去极，若应绳准，故曰加时九道。〕

求定朔午中入转：各视经朔夜半入转日及余秒，以半法加之，若定朔及余有进退者，亦进退转日，否则因经为定。〔因求次日，累加一日，满转周日及余秒去之，即每日午中入转。〕

求晨昏月度：以晨分乘其日算外转定分，如统法而一，为晨转分。用减转定分，余为昏转分。乃以朔、弦、望小馀乘其日算外转定分，如统法而一，为加时分。以减晨昏转分，余为前。不足减者，覆减之，余为后。以前加后减定朔、弦、望月度，即晨、昏月所在度。

求朔弦望晨昏定程：各以其朔昏定月减上弦昏定月，余为朔后昏定程。以上弦昏定月减望昏定月，余为上弦后昏定程。以望晨定月减下弦晨定月，余为望后晨定程。以下弦晨定月减后朔晨定月，余为下弦后晨定程。

求每日转定度数：累计每程相距日转定分，以减定程，余为盈。不足减者，覆减之，余为缩。以相距日除之，所得，盈加缩减每日转定分，为每日转定度及分秒。

求每日晨昏月：置朔、弦、望晨昏月，以每日转定度及分加之，满宿次去之，为每日晨昏月。〔凡注历，自朔日注昏月，望后一日注晨月。〕已前月度并依九道所推，以究算术之精微，如求速要，即依后术求之。

求天正十一月经朔加时平行月：置岁周，以天正闰馀减之，余以统法约之为度，不满，退除为分秒，即天正十一月经朔加时平行月积度及分秒。

求天正十一月定朔夜半平行月：置天正经朔小馀，以平行月度分秒乘之，如统法而一为度，不满，退除为分秒，以减天正十一月经朔加时平行月积度，即天正十一月经朔晨前夜半平行月。其定朔大馀有进退者，亦进退平行度，否则因经为定，即天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒。

求次定朔夜半平行月：置天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒，大月加三十五度八十分、秒六十一，小月加二十二度四十三分、秒七十三半，满周天度及约分、秒去之，即得次定朔晨前夜半平行月积度及分秒。

求弦望定日夜半平行月：各计朔、弦、望相距之日，乘平行度及分秒，以加其月定朔晨前夜半平行月积度及分秒，即其月弦望定日晨前夜半平行月积度及分秒。

求定朔晨前夜半入转：置其月经朔晨前夜半入转日及余秒，若定朔大馀有进退者，亦进退转日，否则因经为定，其馀如统法退除为分秒，即得其月定朔晨前夜半入转日及分秒。〔因求次日，累加一日，满转周二十七日五十五分、秒四十六去之，即每日晨前夜半入转。〕

求定朔弦望晨前夜半定月：置定朔、弦、望晨前夜半入转分，乘其日算外增减差，百约为分，分满百为度，增减其下迟疾度，为迟疾定度。迟减疾加定朔、弦、望晨前夜半平行月积度及分秒，以天正冬至加时黄道日度加而命之，即各得定朔、弦、望晨前夜半月离宿度及分秒。〔如求每日晨、昏月，依前术入之，即得所求。〕

步晷漏二至限：一百八十二日六十二分。一象：九十一日三十一分。消息法：九千七百三。

半法：六千一十五。辰法：二十五。半辰法：一十二半。刻法：一千二百三。

辰刻：八、余四百一。昏明分：三百太。昏明刻：二、余六百一半。冬至岳台晷影常数：一丈二尺八寸五分。

夏至岳台晷影常数：一尺五寸七分。冬至后初限夏至后末限：四十五日、六十二分。冬至后末限夏至后初限：一百三十七日、空分。

求岳台晷影入二至后日数：计入二至以来日数，以二至约分减之，乃加半日之分五十，即入二至后来午中日数及分。

求岳台午中晷影定数：置入二至后日及分，如初限已下者为初。已上，覆减二至限，余为末。其在冬至后初限、夏至后末限者，以入限日入分减一千九百三十七半，为泛差。仍以入限日及分乘其日盈缩积，〔其盈缩积者，以入盈缩限日及分与二百相减相乘，为盈缩积也。〕五因百约，用减泛差，为定差。乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，满一百万为尺，不满为寸、分，以减冬至岳台晷影常数，余为其日午中晷影定数。其在冬至后末限、夏至后初限者，以三约入限日及分，减四百八十五少，为泛差。仍以盈缩差度减去极度，余者春分后、秋分前，四约，以加泛差，为定差。春分前、秋分后，以去二分日数乘之，六百而一，以减泛差，为定差。乃以入限日及分自相乘，以定差乘之，满一百万为尺，不满为寸分，以加夏至岳台晷影常数，为其日午中晷影定数。

求每日午中定积日：置其日午中入二至后来日数及分，以其日盈缩分盈加缩减之，即每日午中定积日及分。

求每日午中消息定数：置定积日及分，在一象已下自相乘，已上，用减二至限，余亦自相乘，七因，进二位，以消息法除之，为消息常数。副置之，用减六百一半，余以乘其副，以二千六百七十除之，以加常数，为消息定数。〔冬至后为息，夏至后为消。〕

求每日黄道去极度：置其日消息定数，十六乘之，满四百一除之为度，不满，退除为分，春分后加六十七度三十一分，秋分后减一百一十五度三十一分，即每日午中黄道去极度及分。

求每日太阳去赤道内外度：置其日黄道去极度及分，与一象度相减，余为太阳去赤道内、外度及分。〔去极多为日在赤道外，去极少为日在赤道内。〕

求每日晨昏分及日出入分半昼分。置其日消息定数，春分后加二千一百少，秋分后减三千三百八少，各为其日晨分。用减统法，余为昏分。以昏明分加晨分，为日出分。减昏分，为日入分。以日出分减半法，余为半昼分。

求每日距中度：置其日晨分，进位，十四因之，以四千六百一十一除之为度，不满，退除为分，即距子度。用减半周天，余为距中度。五而一，为每更差数。

求每日夜半定漏：置晨分，进一位，如刻法而一为刻，不满为刻分，即每日夜半定漏。

求每日昼夜刻及日出入辰刻：置夜半定漏，倍之，加五刻，为夜刻。减百刻，为昼刻。以昏明刻加夜半定漏，命子正，算外，得日出辰刻。以昼刻加之，命如前，即日入辰刻。〔其辰数依发敛术求之。〕

求更点辰刻：置其日夜半定漏，倍之，二十五而一为筹差。半之，进位，为更差。以昏明刻加日入辰刻，即甲夜辰刻。以更筹差累加之，满辰刻及分去之，各得每更筹所在辰刻及分。〔若用司辰漏者，倍夜半定漏，减去待旦十刻，馀依术算，即得内中更筹也。〕

求每日昏晓中星及五更中星：置距中度，以其日昏后夜半赤道日度加而命之，即得其日昏中星所格宿次，命之曰初更中星。以每更差度加而命之，即乙夜中星。以更差度累加之，去命如前，即五更及晓中星。〔若依司辰星漏倍距子度，减去待旦三十六度五十二分半，馀依术求更点差度，即内中昏晓五更及攒点中星也。〕

求九服距差日：各于所在立表候之，若地在岳台北，测冬至后与岳台冬至晷影同者，累冬至后至其日，为距差日。若地在岳台南，测夏至后与岳台晷影同者，累夏至后至其日，为距差日。

求九服晷影：若地在岳台北冬至前后者，以冬至前后日数减距差日，为馀日。以馀日减一千九百三十七半，为泛差。依前术求之，以加岳台冬至晷影常数，为其地其日午中晷影定数。冬至前后日多于距差日者，乃减去距差日，馀依法求之，即得其地其日午中晷影定数。若地在岳台南夏至前后者，以夏至前后日数减距差日，为馀日。乃三约之，以减四百八十五少，为泛差。依前术求之，以减岳台夏至晷影常数，即其地其日午中晷影定数。如夏至前后日数多于距差日，乃减去距差日，馀依法求之，即得其地其日午中晷影定数，即晷在表南也。

求九服所在昼夜漏刻：各于所在下水漏，以定二至夜刻，乃相减，余为二至差刻。乃置岳台其日消息定数，以其处二至差刻乘之，如岳台二至差刻二十除之，所得为其地其日消息定数。乃倍消息定数，进位，满刻法约之为刻，不满为分，以加减其处二至夜刻，〔春分后、秋分前，以加夏至夜刻。秋分后、春分前，以减冬至夜刻。〕为其地其日夜刻。以减百刻，余为昼刻。〔求日出入差刻及五更中星，并依岳台法求之。〕

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