作者：元·脱脱等

◎律历十三○纪元历步交会交终分：一十九万八千三百七十七、秒八百八十。

交终日：二十七、余一千五百四十七、秒八百八十。交中日：一十三、余四千四百一十八、秒五千四百四十。朔差日：二、余二千三百二十、秒九千一百二十。

望策：一十四、余五千五百七十九。已上秒母一万。交率：三百二十四。交数：四千一百二十七。

交终度：三百六十三、约分七十九、秒四十四。交中度：一百八十一、约分八十九、秒七十二。交象度：九十、约分九十四、秒八十六。半交象度：四十五、约分四十七、秒四十三。

日食阳历限：三千四百，定法三百四十。阴历限：四千三百，定法四百三十。月食限：六千八百，定法四百四十。已上分秒母各同一百。

推天正十一月经朔加时入交：置天正十一月经朔加时积分，以交终分及秒去之，不尽，满日法为日，不满为余秒，即天正十一月经朔加时入交泛日及余秒。

求次朔及望入交：置天正十一月经朔加时入交泛日及余秒，求次朔，以朔差加之。求望，以望策加之：满交终日及余秒去之，即各得次朔及望加时入交泛日及余秒。〔若以经朔、望小馀减之，各得朔、望夜半入交泛日及余秒。〕

求定朔望夜半入交：因经朔、望夜半入交泛日及余秒，视定朔、望日辰有进退者，亦进退交日，否则因经为定，各得所求。

求次定朔夜半入交：各因定朔夜半入交泛日及余秒，大月加二日，小月加一日，馀皆加五千七百四十二、秒九千一百二十，即次朔夜半入交。若求次日，累加一日：满交终日及余秒皆去之，即每日夜半入交泛日及余秒。

求定朔望加时入交：置经朔、望加时入交泛日及余秒，以入气、入转朏朒定数朏减朒加之，即得定朔、望加时入交泛日及余秒。

求定朔望加时月行入交积度：置定朔、望加时入交泛日及余秒，以日法通日，内余，进一位，如五千四百五十三而一为度，不满，退除为分，即定朔、望加时月行入交积度及分。〔每日夜半，准此求之。〕

求定朔望加时月行入交定积度：置定朔、望加时月行入交积度及分，以定朔、望加时入转迟疾度迟减疾加之，〔满与不足，进退交终度及分。〕即定朔、望加时月行入交定积度及分。〔每日夜半，准此求之。〕

求定朔望加时月行入阴阳历积度：置定朔、望加时月行入交定积度及分，如在交中度及分已下为入阳历积度。已上者去之，余为入阴历积度。〔每日夜半，准此求之。〕

求定朔望加时月去黄道度：视月入阴阳历积度及分，如交象已下为在少象。已上，覆减交中度，余为入老象。置所入老、少象度及分于上，列交象度于下，以上减下，余以乘上，五百而一，所得，用减所入老、少象度及分，余，列交中度于下，以上减下，余以乘上，满一千三百七十五而一，所得为度，不满，退除为分，即为定朔、望加时月去黄道度及分。〔每日夜半，准此求之。〕

求朔望加时入交常日：置其月经朔、望加时入交泛日及余秒，以其月入气朏朒定数朏减朒加之，满与不足，进退其日，即得朔、望加时入交常日及余秒。〔近交初为交初，在二十六日、二十七日为交初。近交中为交中，在十三日、十四日为交中。〕

求日月食甚定数：以其朔望入气、入转朏朒定数，同名相从，异名相消，副置之。以定朔、望加时入转算外损益率乘之，如日法而一，〔其定朔、望如算外在四七日者，视其馀在初数已下，初率乘之，初数而一。初数已上，以末率乘之，末数而一。〕所得，视入转，应朒者依其损益，应朏者益减损加其副。以朏减朒加经朔望小馀，为泛余。〔满与不足，进退大馀。〕日食者视泛余，如半法已下，为中前。列半法于下，以上减下，余以乘上，如一万九百三十五而一，所得，为差。以减泛余，为食甚定余。用减半法，为午前分。如泛余在半法已上，减去半法，为中后。列半法于下。以上减下，余以乘上，如日法而一，所得，为差。以加泛余，为食甚定余。乃减去半法，为午后分。月食者视泛余，如半法已上减去半法，余在一千八百二十二半已下自相乘，已上者，覆减半法，余亦自相乘，如三万而一，所得，以减泛余，为食甚定余。如泛余不满半法，在日出分三分之二已下，列于上位，已上者，用减日出分，余倍之，亦列于上位，乃四因三约日出分，列之于下，以上减下，余以乘上，如一万五千而一，所得，以加泛余，为食甚定余。

求日月食甚辰刻：倍食甚定余，以辰法除之为辰数，不尽，五因之，满刻法除之为刻，不满为分。命辰数起子正，算外，即食甚辰刻及分。〔若加半辰，命起子初。〕

求日月食甚入气：〔食甚大、小馀及食定小馀，并定朔、望大馀，以此与经朔望大、小馀相减。〕置其朔望食甚大、小馀，与经朔望大、小馀相减之，余以加减经朔望入气日馀，〔经朔望少即加之，多即减之。〕为日、月食甚入气日及余秒。各置食甚入气及余秒，加其气中积，其馀，以日法退除为分，即为日、月食甚中积及分。

求日月食甚日行积度：置食甚入气余，以所入气日盈缩分乘之，日法而一，加减其日先后数，〔至后加，分后减。〕先加后减日、月食甚中积，即为日、月食甚日行积度及分。

求气差：置日食甚日行积度及分，满二至限去之，余在象限已下为在初。已上，覆减二至限，余为在末。皆自相乘，进二位，满三百四十三而一，所得，用减二千四百三十，余为气差。以午前、后分乘之。如半昼分而一，以减气差，为气差定数。在冬至后末限、夏至后初限，〔交初以减，交中以加。〕夏至后末限、冬至后初限，〔交初以加，交中以减。〕如半昼分而一，所得，在气差已上者，即以气差覆减之，余应加者为减，减者为加。

求刻差：置日食甚日行积度及分，满二至限去之，余列二至限于下，以上减下，余以乘上，进二位，满三百四十三而一，所得为刻差。以午前、后分乘而倍之，如半法而一，为刻差定数。冬至后食甚在午前，夏至后食甚在午后，〔交初以加，交中以减。〕冬至后食甚在午后，夏至后食甚在午前，〔交初以减，交中以加。〕如半法而一，所得在刻差已上者，即倍刻差，以所得之数减之，余为刻差定数，依其加减。

求朔入交定日：置朔入交常日及余秒，以气、刻差定数各加减之，交初加三千一百，交中减三千，为朔入交定日及余秒。

求望入交定日：置望入转朏朒定数，以交率乘之，如交数而一，所得，以朏减朒加入交常日之馀，满与不足，进退其日，即望入交定日及余秒。

求月行入阴阳历：视其朔、望入交定日及余秒，如在中日及余秒已下为月在阳历。如中日及余秒已上，减去中日，为月在阴历。

求入食限交前后分：视其朔、望月行入阴阳历，不满日者为交后分。在十三日上下者覆减交中日，为交前分。视交前、后分各在食限已下者为入食限。

求日食分：以交前、后分各减阴阳历食限，余如定法而一，为日食之大分。不尽，退除为小分。命大分以十为限，即得日食之分。〔其食不及大分者，行势稍近交道，光气微有映蔽，其日或食或不食。〕

求月食分：视其望交前、后分，如二千四百已下者，食既。已上，用减食限，余如定法而一，为月食之大分。不尽，退除为小分。命大分以十为限，得月食之分。

求日食泛用分：置交前、后分，自相乘，退二位，阳历一百九十八而一，阴历三百一十七而一，所得，用减五百八十三，余为日食泛用分。

求月食泛用分：置交前、后分，自相乘，退二位，如七百四而一，所得，用减六百五十六，余为月食泛用分。

求日月食定用分：置日、月食泛用分，副之，以食甚加时入转算外损益率乘之，如日法而一，〔如算外在四、七日者，依食定余求之。〕所得，应朒者依其损益，应朏者益减损加其副，即为日月食定用分。

求月食既内外分：置月食交前、后分，自相乘，退二位，如二百四十九而一，所得，用减二百三十一，余以定用分乘之，如泛用分而一，为月食既内分。用减定用分，余为既外分。

求日月食亏初复满小馀：置日、月食甚小馀，各以定用分减之，为亏初。加之，为复满。其月食既者，以既内分减之，为初既。加之，为生光：即各得所求小馀。〔如求时刻，依食甚术入之。〕

求月食更点法：置月食甚所入日晨分，倍之，减去七百二十九，余五约之，为更法。又五除之，为点法。

求月食入更点：置亏初、食甚、复末小馀，在晨分已下加晨分，昏分已上减去昏分，余以更法除之为更数，不满，以点法除之为点数。其更数命初更，算外，即各得所入更、点。

求日食所起：日在阳历，初起西南，甚于正南，复于东南。日在阴历，初起西北，甚于正北，复于东北。其食八分已上，皆起正西，复于正东。〔此据午地而论之。〕

求月食所起：月在阳历，初起东北，甚于正北，复于西北。月在阴历，初起东南，甚于正南，复于西南。其食八分已上，皆起正东，复于正西。〔此亦据午地而论之。〕

求日月出入带食所见分数：各以食甚小馀与日出、入分相减，余为带食差。以乘所食之分，满定用分而一，〔如月食既者，以既内分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出入所见之分，不及减者，为带食既出入。〕以减所食分，即日月出、入带食所见之分。〔其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退。其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。〕

求日月食甚宿次：置食甚日行积度，〔望即更加半周天。〕以天正冬至加时黄道日度加而命之，即各得日、月食甚宿度及分。步五星

木星周率：二百九十万七千八百七十九、秒六十四。周差：二十四万五千二百五十三、秒六十四。历率：二百六十六万二千六百三十六、秒二十二。

周日：三百九十八、约分八十八、秒六十。历度：三百六十五、约分二十四、秒五十。历中度：一百八十五、约分六十二、秒二十五。历策度：一十五、约分二十一、秒八十五。

伏见度：一十三。〔表略〕木星盈缩历火星周率：五百六十八万五千六百八十七、秒六十四。

周差：三十六万四百一十四、秒四十四。历率：二百六十六万二千六百四十七、秒二十。周日：七百七十九、约分九十二、秒九十七。历度：三百六十五、约分二十四、秒六十五。

历中度：一百八十二、约分六十二、秒三十二半。历策度：二十五、约分二十一、秒八十六。伏见度：一十九。火星盈缩历

土星周率：二百七十五万六千二百八十八、秒七十八。周差：九万三千六百六十二、秒七十八。历率：二百六十六万九千九百二十五、秒九十。周日：三百七十八、约分九、秒一十七。

历度：三百六十六、约分二十四、秒四十九。历中度：一百八十三、约分一十二、秒二十四半。历策度：一十五、约分二十六、秒二。伏见度：一十七。

土星盈缩历金星周率：四百二十五万六千六百五十一、秒四十三半。合日：二百九十一、约分九十五、秒一十四。历率：二百六十六万二千六百九十六、秒一十六。

周日：五百八十三、约分九十、秒二十八。历度：三百六十五、约分二十五、秒三十二。历中度：一百八十二、约分六十二、秒六十六。历策度：一十五、约分二十一、秒八十九。

伏见度：一十半。金星盈缩历水星周率：八十四万四千七百三十八、秒五。合日：五十七、约分九十三、秒八十一。

历率：二百六十六万二千七百九十四、秒九十五。周日：一百一十五、约分八十七、秒六十二。历度：三百六十五、约分二十六、秒六十八。历中度：一百八十二、约分六十三、秒三十四。

历策度：一十五、约分二十一、秒九十四半。晨伏夕见：一十四。夕伏晨见：一十九。水星盈缩历

推五星天正冬至后平合及诸段中积中星：置气积分，各以其星周率除之，所得周数。不尽者，为前合。以减周率，余满日法为日，不满，退除为分、秒，即其星天正冬至后平合中积。命之为平合中星，以诸段常日、常度累加之，即诸段中积、中星。其段退行者，以常度减之，即其段中星。

求木火土三星平合诸段入历：置其星周数，〔求冬至后合，皆加一数置之。〕以周差乘之，满其星历率去之，不尽，满日法为度，不满，退除为分、秒，即为其星平合入历度及分、秒。以其段限度依次累加之，即得诸段入历。

求金水二星平合及诸段入历：置气积分，各以其星历率去之，不尽，满日法除之为度，不满，退除为分、秒，以加平合中星，即为其星天正冬至后平合入历度及分、秒。以其星其段限度依次累加之，即得诸段入历。

求五星平合及诸段盈缩定差：各置其星其段入历度及分，如历中已下为在盈。已上减去历中，余为在缩。以其星历策除之为策数，不尽，为入策度及分。命策数，算外，以其策损益率乘之，如历策而一为分，分满百为度。以损益其下盈缩积，即其星其段盈缩定差。

求五星平合及诸段定积：各置其星其段中积，以其段盈缩定差盈加缩减之，即其段定积日及分。以天正冬至大馀及约分加之，即为定日及分。盈纪法六十去之，不尽，命己卯，算外，即得日辰。

求五星平合诸段所在月日：各置其段定积，以天正闰日及约分加之，满朔策及约分除之为月数，不尽，为入月已来日数及分。其月数命天正十一月，算外，即其星其段入其月经朔日数及分，乃以日辰相距为定朔月、日。

求五星平合及诸段加时定星：各置其段中星，以其段盈缩定差盈加缩减之，〔金星倍之水星三之，乃可加减。〕即五星诸段定星。以天正冬至加时黄道日度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。五星皆因前留为前段初日定星，后留为后段初日定星，馀依术算。

求五星诸段初日晨前夜半定星：各以其段初行率乘其段加时分，百约之，乃以顺减退加其日加时定星，即为其段初日晨前夜半定星。加命如前，即得所求。

求诸段日率度率：各以其段日辰距至后段日辰，为其段日率。以其段夜半定星与后段夜半定星相减，为其段度率及分秒。

求诸段平行度：各置其段度率及分秒，以其段日率除之，为其段平行度及分秒。

求诸段总差：各以其段平行分与后段平行分相减，余为泛差。并前段泛差，四因，退一位，为总差。若前段无平行分相减为泛差者，因后段初日行分与其段平行分相减，余为半总差。倍之，为总差。若后段无平行分相减为泛差者，因前段末日行分与其段平行分相减，余为半总差，倍之，为总差。晨迟末段，视段无平行分，因前初段末日行分与晨迟末段平行分相减，为半总差。其退行者，各置本段平行分，十四乘之，十五而一，为总差。内金星依顺段术入之，即得所求。〔夕迟初段，视前段无平行分，因后末段初日行分与夕迟初段平行分相减，为半总差。〕

求诸段初末日行分：各半其段总差，加减其段平行分，〔后段平行分多者，减之为初，加之为末。后段平行分少者，加之为初，减之为末。其在退行者，前减之为初，加之为末。后加之为初，减之为末。〕各为其星其段初、末日行度及分秒。〔如前后段平行分俱多、俱少者，平注之。本段总差不满大分者，亦平注之。〕

求每日晨前夜半星行宿次：置其段总差，减日率一以除之，为日差。累损益初日行分，〔后行分少，损之。后行分多，益之。〕为每日行度及分秒。乃顺加退减其段初日晨前夜半宿次命之，即每日晨前夜半星行所在宿次。

径求其日宿次：置所求日，减一，半之，以日差乘而加减初行日分，〔后行分少，减之。后行分多，加之。〕以所求日乘之，为积度。乃顺加退减其段初日宿次，即得所求日宿次。

求五星平合及见伏入气：置定积，以气策及约分除之为气数，不尽，为入气已来日数及分秒。其气数命天正冬至，算外，即五星平合及见、伏入气日及分秒。〔其定积满岁周日及分，去之，余，在来年冬至后。〕

求五星合见伏行差：木、火、土三星，以其段初日星行分减太阳行分，余为行差。金、水二星顺行者，以其段初日太阳行分减星行分，余为行差。金、水二星退行者，以其段初日星行分并太阳行分，为行差。

求五星定合及见伏泛积：木、火、土三星，各以平合晨疾、夕伏定积，便为定合定见、定伏泛积。金、水二星，各置其段盈缩定差，内水星倍之，以其段行差除之为日，不满，退除为分秒，在平合夕疾、晨伏者，乃盈减缩加定积，为定合定见、定伏泛积。在退合夕伏、晨见者，用盈加缩减定积，为定合定见、定伏泛积。

求五星定合定积定星：木、火、土三星，以平合行差除其日先后数，为距合差日。以先后数减之，为距合差度。以差日、差度后加先减其星定合泛积，为其星定合日定积、定星。金、水二星顺合者，以平合行差除其日先后数，为距合差日。以先后数加之，为距合差度。以差日、差度先加后减其星定合泛积，为其星定合日定积、定星。金、水二星退合者，以退合行差除其日先后数，为距合差日。以减先后数，为距合差度。以差日先减后加，以差度先加后减再定合泛积，为其星再定合积星。各以冬至大馀及约分加定积，满纪法去之，命己卯，算外，即得定合日辰。以冬至加时黄道日度加定星，依宿次去之，即得定合所在宿次。

求木火土三星定见伏定积日：各置其星定见、伏泛积，晨加夕减象限日及分秒，如二至限已下自相乘，已上，覆减岁周，余亦自相乘，百约为分，以其星伏见度乘之，十五除之，为差。其差如其段行差而一为日，不满，退除为分、秒，见加伏减泛积，为定积。如前加命，即得日辰。

求金水二星定见伏定日：夕见、晨伏，以行差除其日先后数，为日。先加后减泛用积，为常用积。晨见、夕伏，以行差除其日先后数，为日。先减后加泛用积，为常用积。如常用积在二至限已下为冬至后。已上去之，余为夏至后。其二至后日及分在象限已下自相乘，已上，用减二至限，余亦自相乘，如法而一，所得为分。〔冬至后晨，夏至后夕，以十八为法。冬至后夕、夏至后晨，以七十五为法。〕以伏见度乘之、十五除之，为差。满行差而一为日，不满，退除为分秒，加减常用积，为定用积。加命如前，即得定见、伏日辰。〔冬至后，晨见、夕伏加之，夕见、晨伏减之。夏至后，晨见、夕伏减之，夕见、晨伏加之。〕其水星，夕疾在大暑气初日至立冬气九日三十五分已下者，不见。晨留在大寒气初日至立夏气九日三十五分已下者，春不晨见，秋不夕见。

熙宁六年六月，提举司天监陈绎言“浑仪尺度与《法要》不合，二极、赤道四分不均，规、环左右距度不对，游仪重涩难运，黄道映蔽横箫，游规璺裂，黄道不合天体，天枢内极星不见。天文院浑仪尺度及二极、赤道四分各不均，黄道、天常环、月道映蔽横箫，及月道不与天合，天常环相攻难转，天枢内极星不见。皆当因旧修整，新定浑仪，改用古尺，均赋辰度，规、环轻利，黄赤道、天常环并侧置，以北际当天度，省去月道，令不蔽横萧，增天枢为二度半，以纳极星，规、环、二极，各设环枢，以便游运”诏依新式制造，置于司天监测验，以较疏密。七年六月，司天监呈新制浑仪、浮漏于迎阳门，帝召辅臣观之，数问同提举官沈括，具对所以改更之理。寻又言“准诏，集监官较其疏密，无可比较”诏置于翰林天文院。七月，以括为右正言，司天秋官正皇甫愈等赏有差。初，括上《浑仪》、《浮漏》、《景表》三议，见《天文志》。朝廷用其说，令改造法物、历书。至是，浑仪、浮漏成，故赏之。

元丰五年正月，翰林学士王安礼言“详定浑仪官欧阳发所上浑仪、浮漏木样，具新器之宜，变旧器之失，臣等窃详司天监浮漏，疏谬不可用，请依新式改造。其至道、皇祐浑仪、景表亦各差舛，请如法条奏修正”从之。元祐四年三月，翰林学士许将等言“详定元祐浑天仪象所先奉诏制造水运浑仪木样，如试验候天不差，即别造铜器，今校验皆与天合”诏以铜造，仍以元祐浑天仪象为名。将等又言“前所谓浑天仪者，其外形圆，可遍布星度。其内有玑、有衡，可仰窥天象。今所建浑仪象，别为二器，而浑仪占测天度之真数，又以浑象置之密室，自为天运，与仪参合。若并为一器，即象为仪，以同正天度，则浑天仪象两得之矣。请更作浑天仪”从之，七年四月，诏尚书左丞苏颂撰《浑天仪象铭》。六月，元祐浑天仪象成，诏三省、枢密院官阅之。绍圣元年十月，诏礼部、秘书省，即详定制造浑天仪象所，以新旧浑仪集局官同测验，择其精密可用者以闻。

宣和六年七月，宰臣王黼言：

臣崇宁元年邂逅方外之士于京师，自云王其姓，面出素书一，道玑衡之制甚详。比尝请令应奉司造小样验之，逾二月，乃成璇玑，其圆如丸，具三百六十五度四分度之一，置南北极、昆仑山及黄、赤二道，列二十四气、七十二候、六十四卦、十干、十二支、昼夜百刻，列二十八宿、并内外三垣、周天星。日月循黄道天行，每天左旋一周，日右旋一度，冬至南出赤道二十四度，夏至北入赤道二十四度，春秋二分黄、赤道交而出卯入酉。月行十三度有馀，生明于西，其形如钩，下环，西见半规，及望而圆。既望，西缺下环，东见半规，及晦而隐。某星始见，某星已中，某星将入，或左或右，或迟或速，皆与天象吻合，无纤毫差。玉衡植于屏外，持扼枢斗，注水激轮，其下为机轮四十有三，钩键交错相持，次第运转，不假人力，多者日行二千九百二十八齿，少者五日行一齿，疾徐相远如此，而同发于一机，其密殆与造物者侔焉。自余悉如唐一行之制。

然一行旧制机关，皆用铜铁为之，涩即不能自运，今制改以坚木若美玉之类。旧制外络二轮，以缀日月，而二轮蔽亏星度，仰视躔次不审，今制日月皆附黄道，如蚁行硙上。旧制虽有合望，而月体常圆，上下弦无辨，今以机转之，使圆缺隐见悉合天象。旧制止有候刻辰钟鼓，昼夜短长与日出入更筹之度，皆不能辨，今制为司辰寿星，运十二时轮，所至时刻，以手指之，又为烛龙，承以铜荷，时正吐珠振荷，循环自运。其制皆出一行之外。即其器观之，全象天体者，璇玑也。运用水斗者，玉衡也。昔人或谓玑衡为浑天仪，或谓有玑而无衡者为浑天象，或谓浑仪望筒为衡：皆非也。甚者莫知玑衡为何器。唯郑康成以运转者为玑，持正者为衡，以今制考之，其说最近。

又月之晦明，自昔弗烛厥理，独扬雄云“月未望则载魄于西，既望则终魄于东，其溯于日乎”京房云“月有形无光，日照之乃光”始知月本无光，溯日以为光。本朝沈括用弹况月，粉涂其半，以象对日之光，正侧视之，始尽圆缺之形。今制与三者之说若合符节。宜命有司置局如样制，相址于明堂或合台之内，筑台陈之，以测上象。又别制三器，一纳御府，一置钟鼓院，一备车驾行幸所用。仍著为成书，以诏万世。

诏以讨论制造玑衡所为名，命黼总领，内侍梁师成副之。

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