《九章》商功章提出了许多多面体体积的算法，并在实际中使用了长方体的体积公式V=abh，对此，刘徽把它看成不言自明而未试图证明。
　

　　图3 堑之出入相补

　　堤、沟、渠是水利设施，堑、城、垣是建筑或防御工事，其横截面都是相等的梯形。设上、下广是a、b，高(深)h，长l，《九章》提出的体积公式是。刘徽采用出入相补，将其变成宽1/2(a+b)，长l，高h的长方体证明之(图3)。
　

　　图4 堑堵
　

　　图5 阳马

　　堑堵是将长方体沿相对两棱剖开所得的立体(图4)，其体积显然为。沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，一部分是底面为长方形，一棱垂直于底面的四棱锥，称为阳马(图5)，《九章》给出其体积公式；一部分为四面都是勾股形的四面体，叫鳖臑[nao闹](图6)，其体积。在a=b=h的情况下，人们用六个鳖臑或三个阳马可拚成一个正方体，上述两个公式是显然的，这是棊①[同“祺”]验法。而当a≠b≠h时，棊验法无能为力，必须用无穷小分割方法才能证明上述公式。这是刘徽的重大贡献，将在第十一节中介绍。
　

　　图6 鳖臑

　　方锥的体积与阳马相同(见图7)。今之方台，古代称为方亭。设上方边长a，下方边长b，高h(图8)，《九章》给出的公式是。刘徽又给出等价的公式。刍童是草垛，盘池是挖的水池，冥谷是挖的大墓穴，都是上、下底面为长方形的棱台体(图9)。汉代帝王的陵墓都是刍童形。设上底为a1×b1，下底为a2×b2，高h，《九章》给出的体积公式是。刘徽又提出两个等价的公式和。刍甍也是草垛，形状像屋脊(图10)。设底面为，上长b1，高h，《九章》给出其体积公式。刘徽又给出等价的公式。羡[音yan，通埏]除是墓道，它是一种三面为等腰梯形(其中两面互相垂直)而两侧面为三角形的楔形体(图11)。设其三广为a、b、c，高h，长l。
　

　　图7 方锥
　

　　图8 方亭
　

　　图9 刍童
　

　　图10 刍甍
　

　　图11 羡除

　　《九章》给出其体积公式是。对这些立体的特殊情形，刘徽之前都用棊验法，而对一般情形，棊验法亦无能为力。刘徽将它们分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖臑，求其和而证明之。刘徽所补充的上述公式就是由此得出的。

　　显然，复杂多面体体积的解决都要归结到阳马、鳖臑，正如刘徽所说：“不有鳖臑，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”(《九章算术·商功章注》)中国古代的多面体体积理论，由《九章》提出公式，刘徽完成证明，可以说基本完备。祖冲之父子可能将其推进到隋唐数学家看不懂的地步，由于《缀术》失传，其详情不得而知。就现有资料看唐宋无大的突破。唐初王孝通解决土木工程中更复杂的体积计算问题，都是《九章》已经讨论过的多面体或其组合。《九章》的堤上下两底平行，王孝通解决了一种上下底不平行的堤防，如图12，它可以分解成一个堤与一个羡除，那么，其体积就是两者体积之和。金元治河著作《河防通议》给出其体积公式其中a为上底面广，l为长，h1、h2分别为两头之高，b1、b2分别为两头下广。
　

　　图12 堤防

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　　注释：

　　①“棊”是特制的立体模型。
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