《周髀》载陈子应用勾股定理测望太阳距离时要开平方，但无开方程序。《九章》少广章提出了世界上最早的开平方的完整抽象程序。刘徽认为，开平方的几何意义是已知一正方形面积求其边长。《九章》按四行布算，最上行准备放议得(即根)，下面一行布置被开方数，称为实，第三行是法，最下一行是借一算，与实的个位相齐，这相当于，如(1)。将借算自右向左隔一位移一步，至不能移为止。根的位数比移的步数多1，实是个位、十位数，借一算根是一位数，实是三位、四位数，借算移一步，根是二位数，依此类推，如(2)。议所得(根的第一位)，以乘借算得，为法，应使A÷得到后余数小于。刘徽认为这一步是以乘法减A，即，如(3)。其几何意义是从面积为A的正方形中减去以为边长的正方形黄甲，如图27。
　

　　再求第二位得数。撤去借算，将法加倍，为定法，如(4)。刘徽认为其几何意义是与黄甲相连的两朱幂的长，此朱幂的宽是第二位得数。将定法向右退一位，为，再在下行个位上布置借一算，自右向左隔一位移一步，显然只有n-1步，即。求根的第二位得数相当于求减根方程的正根，如(5)。议得，以乘借算10(2n-2)，加定法，得，使得的商是，而其余数小于。刘徽认为这一步相当于求出余实，如(6)。其几何意义是从正方形余下部分中减去两朱幂及以为边长的小正方形黄乙。若余实仍不为零，则继续开方。显然，这种方法对任何自然数的开方都是适用的。《九章》的例题中被开方数有的高达10位，如。如果被开方数是分数，则通分后，分子、分母分别开方，然后相除，如：
　

　　图27 开平方术示意

　　如果分母不可开(无理数)，则以分母乘实，开方之后，除以分母：

　　《九章》少广章说：“若开之不尽者为不可开，当以面命之。”这里“不可开”大体相当于无理数。《九章》之后，对开方不尽的情形，有人以表示的近似值，刘徽指出，这个值太小，应有不等式。刘徽又提出，为得到的精确近似值，求出整数部分之后，应继续开方，“求其微数”，以十进分数逼近。他说：“退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数，不足言之也。”《九章算术·少广章注》)刘徽的思想不仅开十进小数之先河，而且是保证我国圆周率计算在世界上领先千余年的先决条件，此是后话。

　　《孙子算经》、《张丘建算经》未提出抽象的开方程序，但从题目的开方细草中可以看出，它们在求得根的一位得数后，不再撤去借算，而是保留借算，改称下法，退二位求减根方程。它们还吸取了刘徽的改进。北宋贾宪提出立成释锁法，继承了以往开方法的长处并加以改进，与现今方法无异。

　　一次项系数不为零的开方称为带从开方。《九章》勾股章有需开带从平方的例题(见第五节)，而未有开方程序。但是，上述开方程序中从求第二位得数起，便是开带从方。
（穷奇网　www.71101.net）