祖冲之求解负系数方程的资料已佚。现存史料中，第一次突破方程系数为正的限制的是北宋12世纪数学家刘益。据杨辉《田亩比类乘除捷法》所引，刘益《议古根源》中提出了形如，，的方程，可见他还突破了首项系数是1的限制。刘益为解决这些负系数方程，提出了益积开方术和减从开方术。杨辉说刘益的方法“实冠前古”。这两种方法尚不是增乘方法，后者与增乘开方法比较接近。

　　秦九韶提出正负开方术，把以增乘开方法为主体的高次方程数值解法发展到十分完备的程度。他的方程有的高达10次，方程系数在有理数范围内没有限制。他规定实常为负，这实际上是求解如下方程的正根：

　　秦氏正负开方术的完整表述在《数书九章》田域类“尖田求积”问中：已知两尖田合成的一段田地，大斜39步，小斜25步，中广30步，求其面积(如图31)。此题归结为开玲珑三乘方①：
　

　　图31 尖田

　　其开方过程是：

　　(1)列出方式，开玲珑三乘方。
　

　　(2)上廉超一位，益隅超三位，商数进一位。上廉再超一位，益隅再超三位，商数再进一位，上商八百为定。
　

　　(3)以商生隅，入益下廉，以商生下廉消从上廉，以商生上廉，入方，以商生方，得正积，乃与实相消。以负实消正积，其积乃有余，为正实，谓之“换骨”。
　

　　(4)一变，以商生隅，入下廉。以商生下廉，入上廉内，相消。以正负上廉相消。以商生上廉，入方内，相消。以正负方相消。
　

　　(5)二变：以商生隅，入下廉；以商生下廉，入上廉。
　

　　(6)三变：以商生隅，入下廉。
　

　　(7)四变：方一退，上廉二退，下廉三退，隅四退；商续置。
　

　　(8)以方约实，续商置四十，生隅入下廉内。以商生下廉，入上廉内。以商生上廉，入方内。以续商四十命方法，除实，适尽。所得商数八百四十步为田积。
　

　　秦九韶指出“后篇效此”，表明这是一种普遍方法。这个开方中，出现常数项由负变正的情况，秦九韶称为“换骨”。开方过程中，还会出现常数项绝对值增大的情形，秦氏称为“投胎”。秦氏提出这些情形，目的在于指示人们遇到反常情形不要裹足不前，而是要继续下去。

　　正负开方术是13世纪宋元数学家的共识。南宋的杨辉，金元的李冶、朱世杰对此都有贡献。李冶、朱世杰不再规定实常为负，而是可正可负，并对常数项变号或绝对值增大的情况也提出了处理意见。数学家们还提出了之分法。如《益古演段》第40题需求的正根，就原式开方，开不出准确根，李冶便以22.5乘常数项23002，得517545，一次项系数不变，二次项系数变为-1，再开方，即求的正根。这实际上是作变换y=22.5x，求出y=465，因此，。朱世杰把这种方法推广到高次方。《四元玉鉴》的“和分索隐”门第13问的开方式是。他开得正根的整数部分8之后，尚有余式

　　便以5763乘常数项，5762乘一次项系数，576乘二次项系数，三次项系数不变，以1为首项系数，开方式化成

　　这实际上进行变换，开方得y=384，因此，。之分法又称作连枝同体术，是非常巧妙的。

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　　注释：

　　①若方程的奇次幂系数皆为零时，则称之为“开玲珑某乘方”。
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