勾股定理本身就是一个不定问题,显然它有无数组解。满足该定理的有理数组(a,b,c)通常称为勾股数组,西方称为毕达哥拉斯数组。如何表示出勾股数组,是两千多年来数学家们关注的问题。公元前五、六世纪,毕达哥拉斯设一奇数为,m为正整数,那么就是勾股数组;后来柏拉图以为勾股数组公式,欧几里得以或表示勾股数组,显然这些表达式并未给出全部勾股数组。
世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》勾股章“二人同所立”问。问题是:“今有二人同所立。甲行率七,乙行率三。乙东行,甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何?”显然甲行c+a,乙行b,而(c+a):b=m:n=7:3。《九章》先求出南行率即勾率,东行率即股率b=mn,邪行率即弦率。然后根据已知南行步数,用今有术求出东行和邪行步数。这里勾、股、弦三率便是勾股数的通解表示式,其为通解的条件是m、n为互素的奇数,《九章》的两个例题都符合此条件。国外被认为最先给出勾股数组通解公式的是希腊的丢番都,其公式,是若令,则可得到与《九章》等价的公式。丢番都大约与刘徽同时,比《九章》晚了三、四百年。
《九章算术》已知勾股差与弦求勾股的问题后来也发展为勾股差率与弦率的形式:
这是勾股数组的通解公式的另一种形式,其条件为p、q为互素奇数,是一个完全平方数。秦九韶曾用该公式成功地解决了遥度圆城的十次方程造术。美国数论专家迪克森(Dick-son)1894年提出了勾股数组的另一种形式:。显然,其雏形便是《九章》勾股章已知弦勾差、弦股差求勾、股、弦的公式。
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