刘徽和祖氏父子之后一千余年，极限和无穷小分割思想在中国不但没有明显的进步，甚至没有再达到刘、祖的水平。元赵友钦从圆内接正4边形割圆，只是验证了祖冲之的密率比较精确，理论贡献不大。实际上，刘徽的思想未引起后人的足够重视。十八世纪初，法国传教士杜德美(公元1668—1720年)传入了牛顿、格雷果里创造的三个三角函数的幂级数展开式，但未传入其推导方法。蒙古族数学家明安图(公元？—1766？年)以及董祐诚、项名达、戴煦、徐有壬(公元1800—1860年)、李善兰、夏鸾翔(公元1823—1864年)等以极大的精力研究这类问题及对数函数、指数函数的幂级数展开式，取得了非常大的成就。他们才智超人，精神可嘉，充分显示了中华民族的优秀分子不甘居他人后的气魄。然而，在西方已进入解析数学时代，不去设法学习他人的先进数学方法，而用初等方法穷几年甚至几十年的心血于几个公式，实在是不可效法的。

　　清代数学家中，在无穷小分割和极限思想上超过刘徽和祖氏父子的当首推李善兰的尖锥求积术。他在《方圆阐幽》中提出，“当知诸乘方皆可变为面，并皆可变为线”，即若x为任意正数，n为任意正整数，xn的数值可以表示成一个平面积，也可以表示成一条直线段。他进而指出，“当知诸乘方皆有尖锥”，“当知诸尖锥有积迭之理”，即当x在区间〔O，h〕内时，表示xn的平面积迭成一个尖锥体。他提出了诸尖锥的算法：由平面积axn积迭起来的尖锥体，高为h，底面积为，其体积为。这个命题相当于定积分
　

　　图40 尖锥术

　　他还提出了相当于的命题。李善兰将他的尖锥求积术应用于圆面积的计算。为此，他考虑单位圆的1/4。如图40，OABC为边长为1的正方形，其内容圆的1/4为OAQC。为求OAQC的面积，他先计算方内圆外部分ABCQ的面积。这是一个尖锥。此尖锥是ABD、ADE、AEF、AFG……无数个尖锥之和。诸尖锥之底为 ：……尖锥求积术，尖锥ABCQ的面积应为：

　　因此，单位圆的面积为

　　在《对数探源》中，李善兰还用尖锥术解决了对数函数的幂级数展开式。他求出了一尖锥合积

　　并证明了当y1，y2，y3……等比级数时，与其相对应的L(y1)，L(y2)，L(y3)……等差级数，故L(y)具有对数的性质。
　

　　这是n的自然对数，它相当于定积分

　　李善兰的这些工作大体与欧洲牛顿、莱布尼茨完成微积分学之前数学家们的工作相类，是在他接触西方微积分学前完成的。尽管完成这一工作的预备知识中有明末清初以来传入的西方初等数学，但总的说来，是在中国传统数学基础上，未受西方微积分学思想影响的情况下独立完成的创造性工作。显然，那种认为中国古典数学无法发展为现代数学的看法是站不住脚的。

　　夏鸾翔在幂级数展开方面也有杰出的工作，并创立了计算一部分椭圆曲线绕长轴(或短轴)旋转所形成的曲面面积的积分的级数展开式，不过这是在《代微积拾级》的基础上完成的。
（穷奇网　www.71101.net）